半线性路径依赖偏微分方程粘性解的比较
概率论
2014-10-28 v1 偏微分方程分析
摘要
本文提供了路径依赖半线性偏微分方程 (PDEs) 粘性解比较结果的概率证明。我们考虑了\cite{EKTZ}中引入的粘性解概念，该概念将所有在均值意义上相切的光滑过程视为测试函数。当限制在马尔可夫情形时，该定义导出了更大的测试函数集，并简化为\cite{BayraktarSirbu1,BayraktarSirbu2}中分析的随机粘性解概念。我们的主要结果利用了测试函数的这一扩展，提供了更简便的比较证明。在线性路径依赖热方程的背景下，这一点尤为显著。作为我们方法的关键要素，我们引入了逐点微分 (punctual differentiation) 的概念，类似于标准粘性解\cite{CaffarelliCabre}中的相应概念，并证明了半鞅几乎处处逐点可微。这一光滑性结果可视为凸函数 Aleksandroff 光滑性结果的对应物。类似的比较结果早前已在\cite{EKTZ}中建立。本文的结果更为一般，且更重要的是，我们发展的论证不依赖于解的任何表示。
引用
@article{arxiv.1410.7281,
title = {Comparison of Viscosity Solutions of Semi-linear Path-Dependent PDEs},
author = {Zhenjie Ren and Nizar Touzi and Jianfeng Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:1410.7281},
year = {2014}
}