具有极小光滑度的 $\mathbb C^n$ 中域上的柯西--塞格型积分的交换子

本文研究最近 Lanzani--Stein 结果中边界 $bD$ 满足最小正则条件 $C^{2}$ 的 $\mathbb C^n$ 中有界强伪凸域 $D$ 上柯西型积分 $\EuScript C$ 的交换子。我们指出，在此情形下柯西型积分 $\EuScript C$ 是一个 Calderón--Zygmund 算子（即本质部分 $\EuScript C^\sharp$）与一个不再是 Calderón--Zygmund 算子的余项 $\EuScript R$ 之和。我们证明交换子 $[b, \EuScript C]$ 在 $L^p(bD)$（$1<p<\infty$）上有界当且仅当 $b$ 属于 $bD$ 上的 BMO 空间。此外，交换子 $[b, \EuScript C]$ 在 $L^p(bD)$（$1<p<\infty$）上紧当且仅当 $b$ 属于 $bD$ 上的 VMO 空间。我们的方法也可应用于 $\mathbb C^n$ 中有界强 $\mathbb C$-线性凸域 $D$ 中边界 $bD$ 满足最小正则性 $C^{1,1}$ 的柯西--勒雷积分的交换子。如最近 Lanzani--Stein 结果所证，此类柯西--勒雷积分是一个 Calderón--Zygmund 算子。我们还指出，我们的方法为 $\mathbb C^n$ 中有界强伪凸域 $D$ 上具光滑边界的柯西--塞格算子的交换子的有界性与紧性（最初由 Krantz--Li 建立）提供了另一种证明。