论柯西函数的连续性及柯西积分公式的一致收敛性及其应用

本研究探讨柯西函数 $f(z)$ 及其积分 $J[f(z)]\equiv (2\pi i)^{-1}\oint_C f(t)dt/(t-z)$（沿闭合简单轮廓 $C$ 取值）的综合性质，范围涵盖由 $C$ 界定的开区域 ${\cal D}^+$ 和 $C$ 外部的开区域 ${\cal D}^-$ 组成的整个 $z=x+iy$ 平面。(i) 假设 $f(z)$ 在 $\forall z\in {\cal D}^+$ 及 $C$ 的邻域内为 $C^n$（$n$ 次连续可微），证明 $f(z)$ 及其导数 $f^{(n)}(z)$ 在闭区域 $\bar{{\cal D}^+}=[\cal D^++C]$ 上一致连续。(ii) 在此新假设下，证明积分 $J[f(z)]$ 及其导数 $J_n[f(z)]=d^n J[f(z)]/dz^n$ 在 $\bar{{\cal D}^+}$ 上一致收敛，从而使积分公式在整个 $z$ 平面上有效。(iii) 展示了同样的结论（针对 $f(z)$ 和 $J[f(z)]$）可扩展至补函数 $F(z)$，其定义为在 $\bar{{\cal D}^-}=[\cal D^-+C]$ 上 $\forall z$ 为 $C^n$。(iv) 此外，通过考虑以 ${\cal D}^-$ 中规定的几种典型奇点为例的正问题，阐明了 $f(z)$ 在 ${\cal D}^-$ 中的奇点分布（除非 $f(z)\equiv$ 常数，否则存在）。(v) 针对任意形状轮廓 $C$ 所示的 $f(z)$ 和 $F(z)$ 的一致收敛定理，被改编应用于 $z$ 平面上半部或下半部的特殊区域以及单位圆 $|z|=1$ 内外区域，以实现这些情况下的广义希尔伯特变换。(vi) 最后，提出了一个未解决的逆问题，即确定柯西函数 $f(z)$ 在区域 ${\cal D}^-$ 中的所有奇点，作为猜想供解决。