关于恒等函数的复次幂的柯西变换

积分 $\int_{|z|=1} \frac{z^\beta}{z-\alpha} dz$ 在 $\beta=\frac{1}{2}$ 时已由 Mortini 和 Rupp 出于教学目的作了全面研究。出于类似目的,我们撰写本文,在他们工作的基础上展开讨论,并考虑更一般的情况 $\beta \in \mathbb{C}$。这最终给出了当 $|\alpha| \neq 1$ 且任意 $\beta \in \mathbb{C}$ 时以超几何函数表示的显式解。对于有理的 $\beta$,该积分被化为有限和。我们导出了该积分关于 $\alpha$ 的微分方程,并证明其与超几何方程具有类似的性质。