特殊形式Cauchy型奇异积分求积公式的误差估计

本文中，我们考虑如下形式的Cauchy型奇异积分：$$\ds J(f,x)= \frac{\sqrt{1-x^2}}{\pi}\int_{-1}^1\frac{f(t)}{\sqrt{1-t^2}(t-x)}\,dt, -1<x<1$$ 和 $$\ds \Phi(f,z)= -\frac{\sqrt{z^2-1}}{\pi}\int_{-1}^1\frac{f(t)}{\sqrt{1-t^2}(t-z)}\,dt, \ \ \qquad z\notin [-1,1].$$ 这些积分被理解为Cauchy主值积分。奇异积分(SI) \re{eq1} 和 \re{eq2} 的求积公式(QF)具有形式：$$\ds J(f,x)= \sum_{k=0}^{N}A_k(x)f(t_k)+ R_N(f,x), \ \ \qquad-1<x<1$$ 和 $$\ds \Phi(f,z)= \sum_{k=0}^{N}B_k(z)f(t_k)+ R_N^*(f,z), z\notin [-1,1]$$ 其中 $z$ 是满足 $|Re(z)|>1$ 的复变量。借助线性样条插值，我们证明了对于密度函数 $f(t)$ 的不同类别（即 $H^\a([-1,1],K), C^{m,\a}[-1,1], W^r[-1,1]$），求积公式 \re{eq3} 和 \re{eq4} 误差的收敛速率。结果表明，样条逼近相比其他逼近方式具有更多优势：它只需要密度函数 $f(x)$ 具有最小的光滑性即可获得良好的误差递减阶数。