一族柯西变换的值

柯西变换族 $$C_{g}(z,w) = -\frac{1}{\pi}\int_{\mathbb{C} } \frac{g(u)}{\overline{u-w} (u-z) } da(u ),$$ 其中具有紧（本质）支撑的可测函数 $g$ 满足 $0 \leq g\leq 1,$ 并对所有复数 $z, w$ 适当定义，与具有一维自交换子的希尔伯特空间算子理论密切相关。基于这些联系可导出不等式 $$\vert 1-\exp C{g}(z,w)\vert\leq 1.$$ 此处使用初等方法给出该不等式的直接证明。该方法涉及对凸积分族 $$I_{g}= -\frac{1}{\pi}\int_{\mathbb{C} } \frac{g(u)}{\overline{u+1} (u-1) } da(u),$$ 的详细研究，其中 $g$ 在具有紧支撑且满足 $0 \leq g\leq 1$ 的可测函数集合上变化。利用过 $+1,-1$ 两点的圆族对去掉实轴的平面进行参数化，将这些积分转化为易处理的形式。以这些圆为边界的圆盘的特征函数是该积分族值域凸集边界上的独特点。