具有辛 (1,1)-形式的复流形的上同调

设 $(X, J)$ 是一个复流形，带有一个非退化光滑的 $d$-闭 $(1,1)$-形式 $\omega$。那么我们有一个自然的二重复形 $\overline{\partial}+\overline{\partial}^\Lambda$，其中 $\overline{\partial}^\Lambda$ 表示 $\overline{\partial}$-算子的辛伴随。我们研究了 $X$ 的 Dolbeault 上同调群关于辛形式 $\omega$ 的 Hard Lefschetz 条件。在 \cite{TW} 中，我们证明了这样一个条件等价于 $\partial\overline{\partial}$-引理的某种辛类似，即 $\overline{\partial}\, \overline{\partial}^\Lambda$-引理，它可以用与上述二重复形相关的 Bott--Chern 和 Aeppli 上同调来刻画。我们得到了 Bott--Chern 和 Aeppli 上同调的 Nomizu 型定理，并证明了 $\overline{\partial}\, \overline{\partial}^\Lambda$-引理在 $\omega$ 的小形变下是稳定的，但在复结构的小形变下不稳定。然而，如果我们进一步假设 $X$ 满足 $\partial\overline{\partial}$-引理，那么 $\overline{\partial}\, \overline{\partial}^\Lambda$-引理是稳定的。