不满足硬-Lefschetz 条件的辛可积子流形

对于形式为 $G = \R^k \ltimes_{\phi} \R^m$ 的Lie群，其中 $k + m$ 为偶数，Kasuya 先生的研究表明：若作用 $\phi:\R^k \to \mathrm{Aut}(\R^m)$ 为半单，则任意辛可积子流形 $(\Gamma \backslash G, \omega)$ 对任意辛形式都满足硬-Lefschetz 条件。在本文中，我们在 $k = 1$ 且 $G$ 完全可解的情况下证明了其逆命题：若 $\phi$ 非半单，则此类可积子流形上不存在满足硬-Lefschetz 条件的辛形式；此外，我们指出，根据作用 $\phi$ 的微分谱，失败要么发生在余弗系数的第1范畴，要么发生在第2范畴。通过对此类Lie群的Lie代数 $\g$ 的 $H^1(\g)$、$H^2(\g)$、$H^{2n-2}(\g)$、$H^{2n-1}(\g)$ 进行细致分析，本研究得出了每个余弗类对应的有用代表元，从而将最复杂的情况化简为直接计算。我们还构建了许多所考虑的Lie群的格子，从而展示了完全可解Lie群的辛可积子流形在任意辛形式下均不具备硬-Lefschetz 属性的实例。