紧致 K"ahler 流形上辛结构的 Hard Lefschetz 性质

在本文中，我们给出了一种构造不满足 hard Lefschetz 性质的紧致辛流形的新方法。利用我们的方法，我们构造了一个单连通紧致 K"ahler 流形 $(M,J,\omega)$ 及其上的一个辛形式 $\sigma$，该形式不满足 hard Lefschetz 性质，但与 K"ahler 形式 $\omega$ 辛形变等价。因此，我们可以回答 Khesin 和 McDuff 提出的问题如下。根据辛 Hodge 理论，光滑流形 $M$ 上的任何辛形式 $\omega$ 都在 $M$ 上定义了\textit{辛调和形式}。在 \cite{Yan} 中，Khesin 和 McDuff 提出了一个问题：是否存在一条辛形式路径 $\{\omega_t \}$，使得\textit{辛调和 $k$-形式}空间的维数 $h^k_{hr}(M,\omega)$ 随 $t$ 变化。根据 \cite{Yan} 和 \cite{Ma}，$(M,\omega)$ 满足 hard Lefschetz 性质当且仅当对于所有 $k>0$，$h^k_{hr}(M,\omega)$ 等于 Betti 数 $b_k(M)$。因此，我们的结果回答了这个问题。此外，我们的构造提供了一个紧致 K"ahler 流形的例子，其 K"ahler 锥真包含于辛锥中（参见 \cite{Dr}）。