凝聚系统与 Brill-Noether 理论

设 $C$ 为亏格 $g\geq 2$ 的曲线。 $C$ 上的一个凝聚系统由一对 $(E,V)$ 组成,其中 $E$ 是秩为 $n$、度数为 $d$ 的代数向量丛, $V$ 是 $E$ 的截面中一个维数为 $k$ 的子空间。凝聚系统的稳定性依赖于参数 $\tau$。我们研究当移动该参数时凝聚系统模空间的变化。作为一个应用,我们显式地分析了 $k=1,2,3$ 且 $n=2$ 的情形。对于较小的 $\tau$ 值,凝聚系统的模空间联系于 Brill-Noether 轨迹,即稳定丛模空间中由具有规定数量截面的那些丛构成的子空间。凝聚系统的研究被应用于求出 $k\leq 3$ 时 Brill-Noether 轨迹的维数、不可约性,以及在部分情形下的 Picard 群。