完美润湿情形下具有一般迁移率的薄膜方程的经典解

我们证明了薄膜方程 $h_t + (m(h) h_{zzz})_z = 0$ 在一般迁移率 $m(h) = h^n$ 且迁移率指数 $n\in (1,\tfrac{3}{2})\cup (\tfrac{3}{2},3)$ 的完美润湿（零接触角）情形下的适定性、部分正则性与稳定性。经过适当的坐标变换以固定自由边界（液体、空气与固体汇聚的接触线）后，薄膜方程被重写为一个抽象 Cauchy 问题，并且我们对线性化演化获得了极大 $L^{p}_t$-正则性。通过研究线性化空间部分的椭圆正则性，获得了靠近自由边界的部分正则性。由此得到的解在到自由边界的距离上非光滑，这与先前关于源型自相似解的发现一致。在对初始数据的一种按尺度准极小范数下，我们获得了行波扰动的适定性与渐近稳定性结果。本工作的新颖之处在于使用了时间上的 $L^{p}$-估计，其中 $1 < p < \infty$，而现有文献主要处理 $p = 2$（至少对于非线性迁移率）。这被证明对于首次获得除 $n = \tfrac 3 2$ 处的强退化情形以及已被充分理解的 Greenspan-滑移情形 $n = 1$ 外所有物理非线性滑移条件下的完美润湿情形适定性结果是关键的。此外，与本文第一作者 Giacomelli 与 Kn"upfer、Otto 在 [J. Differential Equations, 257(1):15-81, 2014] 中通过 PDE 方法对 $1.8384 \approx \tfrac{3}{17}(15-\sqrt{21}) < n < \tfrac{3}{11}(7+\sqrt{5}) \approx 2.5189$ 给出 $L^2_t$-估计、适定性与稳定性的工作相比，我们的泛函分析方法显著更简洁，同时给出了更一般的结果。