半线性演化方程在巴拿赫空间中的解的渐近稳定性

我们证明了一个关于半线性演化方程（抛物型）解的非线性稳定性的新的线性化原理。我们假设平衡点的集合在正常稳定和正常双曲稳定的平衡点上形成一个有限维流形。此外，我们假设线性化算子是解析半群的生成器（不一定是稳定的）。我们表明，如果对我们的演化方程的温和解在整个时间范围内全局存在，并且始终保持“接近”平衡流形，那么该解最终以指数速率收敛到一个平衡点。我们将抽象结果应用于支配重实心流动的方程。在一般的物理配置和初始条件下，我们证明支配方程的弱解最终以指数速率收敛到稳态。特别是，随着 $t\to\infty$，相对于实心的流体速度在 $H^{2\alpha}_p(\Omega)$ 中收敛为零，其中 $p\in [1,\infty)$ 且 $\alpha\in [0,1)$，以及在 $H^{2}_2(\Omega)$ 中。