关于薄膜方程弱解的唯一性
偏微分方程分析
2013-10-24 v1
摘要
在任意空间变量维数下，我们研究了具有线性退化迁移率这一最简单情形下的薄膜方程 Cauchy 问题。该方程源于润滑近似，同时也模拟了 Hele-Shaw 单元中表面张力主导的薄粘性膜流动。我们的重点是研究在“完全润湿”机制下弱解的唯一性，即施加液体与固体之间接触角为零的情形。在此情况下，我们通过放大自由边界并考察二次稳态解的小 Lipschitz 扰动来变换该问题。在微扰设定中，主要困难在于构造尺度不变函数空间，使其与非线性方程的结构相容。为此，我们利用齐型空间中的奇异积分理论，在这些函数空间中获得线性估计，从而为初始数据提供存在唯一解的“最优”条件。事实上，该解可用于定义一类函数，使得原始初值问题在其中具有唯一（弱）解。此外，我们证明了空区域与润湿区域之间的界面在时间和空间上均为解析超曲面。
引用
@article{arxiv.1310.6222,
title = {On Uniqueness of Weak Solutions for the Thin-Film Equation},
author = {Dominik John},
journal= {arXiv preprint arXiv:1310.6222},
year = {2013}
}