四阶退化抛物自由边界问题的后退行波稳定性

考虑薄膜方程 $h_t + \left(h h_{yyy}\right)_y = 0$，在自由边界处具有零接触角，即在液体、气体和固体相遇的三相结处。先前关于该方程稳定性和适定性的结果集中于平衡静止或自相似轮廓的扰动，后者最终润湿整个表面。这些解在第二阶多孔介质方程 $h_t - (h^m)_{yy} = 0$ 中有对应，其中 $m > 1$ 为自由参数。多孔介质方程和薄膜方程均在 $h \searrow 0$ 时退化，但多孔介质方程额外满足比较原理，而薄膜方程不满足。在本注记中，我们考虑行波 $h = \frac V 6 x^3 + \nu x^2$（对于 $x \ge 0$），其中 $x = y-V t$，$V, \nu \ge 0$ 为自由参数。这些行波是后退的，因此描述去湿现象，该现象真正与薄膜方程的四阶性质相关，且在多孔介质情形中未出现，因为它违反比较原理。线性稳定性分析导出一个线性四阶退化抛物算子，我们证明了其在接触线 $x = 0$ 右侧邻域内关于 $x$ 展开的任意阶的极大正则性估计。这给出了相应非线性方程的适定性与稳定性结果。由于线性化演化在 $x \searrow 0$ 和 $x \to \infty$ 时具有不同的标度，分析比先前相关著作更为复杂。我们预期我们的方法是研究其他违反比较原理情形（如液滴破裂）的自然步骤。