柯西、无穷小量与逝去量词的幽灵
历史与综述
2017-12-04 v1 经典分析与常微分方程
逻辑
摘要
莱布尼茨、欧拉和柯西中依赖无穷小量的程序已在 Weierstrass 框架和 Robinson 框架中得到解释。后者为经典大师的程序提供了更贴近的代理。因此，莱布尼茨关于可赋值与不可赋值数的区分在 Robinson 框架中对应于标准数与非标准数的区分，而莱布尼茨的齐性律及其隐含的至多差可略项的相等概念在 standard part（标准部分）中找到了数学形式化。在 Weierstrass 框架中很难提供平行的形式化，但自 Ishiguro 以来的学者一直致力于寻找逝去量词的幽灵，以为莱布尼茨的无穷小量提供 Weierstrass 式说明。欧拉同样有至多差可略项的相等概念，他区分了两类：几何的与算术的。欧拉例行地使用分解为特定无限个因子的乘积，并使用具有无限指数的二项式公式。此类程序在 Robinson 框架中有直接的超有限类比，而在 Weierstrass 框架中只能通过显著偏离欧拉本人表述的释义来重新解释。柯西给出了以无穷小量表示的连续性的清晰定义，在 Robinson 框架中易于形式化，但在 Weierstrass 框架中工作的学者极力声称柯西含糊其辞，或在其著作中寻找逝去量词的幽灵。柯西在其 1853 年求和定理（连续函数项级数）背景下的程序从 Robinson 框架的观点更易理解，其中可利用如一致收敛概念的点态定义等工具。关键词：史学；无穷小量；拉丁模型；蝴蝶模型
关键词
引用
@article{arxiv.1712.00226,
title = {Cauchy, infinitesimals and ghosts of departed quantifiers},
author = {Jacques Bair and Piotr Blaszczyk and Robert Ely and Valerie Henry and Vladimir Kanovei and Karin U. Katz and Mikhail G. Katz and Taras Kudryk and Semen S. Kutateladze and Thomas McGaffey and Thomas Mormann and David M. Schaps and David Sherry},
journal= {arXiv preprint arXiv:1712.00226},
year = {2017}
}
备注
45 pages, published in Mat. Stud