欧拉的正弦与余弦级数：非标准分析中的一种解释

在《无穷分析引论》第八章中，欧拉推导了正弦、余弦的级数以及公式 $e^{iv}=\cos v+i\sin v$。他的论证使用了无穷小与无穷大数以及一些奇怪的等式。我们在超实数域内解释这些看似不一致的对象。我们表明，任何非阿基米德域都为这种解释提供了框架。然而，欧拉证明背后有一个隐含引理，它需要非标准分析的特殊技术。分析《微分学基础》第三章揭示了欧拉对包含无穷小的有序域规则的诉诸——与他推导 $\sin v$、$\cos v$ 和 $e^{v}$ 级数时所应用的规则相同。