关于两个四次方之和等于零另外两个四次方之和的观察

译自拉丁文原作《Observationes circa bina biquadrata quorum summam in duo alia biquadrata resolvere liceat》(1772 年)。Enestroem 索引中的 E428。本文关于寻找满足 $A^4+B^4=C^4+D^4$ 的 A,B,C,D。在第 1 节中,Euler 陈述了他的“四次猜想”,即不存在 $A^4+B^4+C^4=D^4$ 的任何非平凡整数解。我不知道他此前是否陈述过此猜想。在第 3 节中,Euler 设 A=p+q, B=p-q, C=r+s, D=r-s。取 r=p 且 s=q 得到 C=A 且 B=D 的平凡解,但这给 Euler 以启示:使 p 与 r 互为倍数、q 与 s 互为倍数。若 k=ab 则再次得到显然解,故在第 5 节中:将 k 扰动为 $k=ab(1+z)$。Euler 给出了两个解。其一为 A=2219449, B=-555617, C=1584749, D=2061283。Hardy 与 Wright 第五版第 201 页给出了 $A^4+B^4=C^4+D^4$ 的一个更简单的参数解。Thomas Heath 在其《Diophantus》第二版第 377–380 页对 Euler 的解作了忠实阐述。