关于方程根形式的猜想

本文对应 Enestrom 索引中的 E30 条目，译自欧拉 1733 年的拉丁文原著《De formis radicum aequationum cuiusque ordinis coniectatio》。对于 n 次方程，欧拉旨在定义一个 n-1 次的“预解方程”，其根与原方程的根相关联。因此，通过求解预解方程即可求解原方程。在第 2 至 7 节中，他针对二次、三次及四次方程推导了这一方法。显然，他在第 5 节中提出了一种求解四次方程的新方法。随后在第 8 节中，欧拉表示希望尝试用同样的方法求解五次方程及一般的 n 次方程。在论文其余部分，欧拉试图探究预解法在何种情况下有效。本文参考了两篇有用的文献：C. Edward Sandifer 所著《The Early Mathematics of Leonhard Euler》（2007 年由美国数学协会出版）第 14 章第 106-113 页，以及 Olaf Neumann 所著《Cyclotomy: from Euler through Vandermonde to Gauss》，收录于 Bradley 和 Sandifer 编辑的《Leonhard Euler: Life, Work and Legacy》（2007 年出版）第 323-362 页。Stacy Langton 对欧拉在方程理论方面的工作提供了大量细节，并就翻译给予了建议；当然，文中任何错误均由译者负责。若 Langton 最终撰写关于欧拉与方程理论的著作，我强烈推荐阅读。