范畴 Lyapunov 理论 I：流的稳定性

Lyapunov 定理为动力系统稳定性提供了基本的表征方法。本文提出了一种范畴框架，用于从范畴角度对 Lyapunov 理论进行一般化，以进行稳定性分析。我们方法的核心是处于稳定性设置中所包含的公理集合，这些公理为在感兴趣的范畴中“进行 Lyapunov 理论”提供了必要的材料。在这些最小假设下，我们定义平衡点的稳定性，提出 Lyapunov 态射，并演示 Lyapunov 态射的存在是确立流稳定性的必要且充分条件。为了说明这些构造，我们展示经典稳定性概念（例如连续时间和离散时间动力系统的稳定性）如何被该范畴 Lyapunov 理论框架所捕获。最后，为了展示框架的可扩展性，我们说明丰富范畴（例如 Lawvere 度量空间）如何产生稳定性设置，从而使人们可以在丰富范畴中“进行 Lyapunov 理论”。