CAT(0) 空间与欧几里得空间的准等距性

我们证明了如果一个proper且 geodesically 完整的 CAT(0) 同调流形其准等距于欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$，则其为 $\mathbb{R}^n$ 的同胚。另一方面，我们证明存在 proper 且 geodesically 完整的 CAT(0) 空间其准等距于 $\mathbb{R}^n$，但并非同胚于其。我们证明我们的例子在某种意义下是尖锐的。最后，我们提供了一个由 proper 且 geodesically 完整的 CAT(0) 空间组成的序列，这些空间不是同调流形，且在 Gromov-Hausdorff 意义下收敛于拓扑流形：这表明拓扑流形的集合在 proper 且 geodesically 完整的 CAT(0) 空间的类别中并非开集。