具有分段权函数的Carleman估计及其在一阶输运方程反问题中的应用

我们考虑一阶输运方程 $\ppp_tu(x,t) + (H(x)\cdot\nabla u(x,t)) + p(x)u(x,t) = F(x,t)$，其中 $x \in \OOO \subset \R^d$，$\OOO$ 是有界区域，$0<t<T$。我们在主系数 $H(x)$ 的条件比现有工作更宽松的情况下，证明了一个Carleman估计。关键在于根据 $\OOO$ 的适当分解，构造一个关于 $x$ 的分段光滑权函数。我们对 $H$ 的假设推广了现有文献中的条件，要求由相应流场创建的有向图没有闭环。然后，我们将我们的Carleman估计应用于两个反问题：一个涉及初始值的确定，另一个涉及源项空间因子的确定，从而为这些反问题建立了Lipschitz稳定性估计。