基于初末观测时刻数据的卡尔曼估计反演抛物问题

我们考虑有界区域 $\OOO$ 上时间区间 $(0,T)$ 内具有齐次诺伊曼边界条件的抛物方程。任意选取子边界 $\Gamma \subset \ppp\OOO$。然后，我们讨论一个反问题：利用解 $u$ 的额外数据 $u\vert_{\Gamma \times (0,T)}$ 以及 $\OOO$ 中的 $u(\cdot,t_0)$（其中 $t_0=0$ 或 $t=T$）来确定零阶空间变系数。首先，我们针对 $t_0=T$ 的情形建立了条件利普希茨稳定性估计以及唯一性。其次，在对 $\Gamma$ 的附加条件下，我们证明了 $t_0=0$ 情形的唯一性。第二个结果将 M.V. Klibanov (Inverse Problems {\bf 8} (1992) 575-596) 的唯一性结论调整至有界区域 $\OOO$ 中的反问题。我们改进了他的方法，该方法将反抛物问题化为反双曲问题，因此即便对于反抛物问题，我们也必须假设相应反双曲问题唯一性的条件。此外，我们证明了对于 $t_0=0$ 的抛物方程某反源问题在不必对整体 $\ppp\OOO$ 施加边界条件时的唯一性。