Carleman 估计及其在各向异性粘弹性模型逆源问题中的应用

我们考虑带有记忆项的各向异性双曲方程：$$\partial_t^2 u(x,t) = \sum_{i,j=1}^n \partial_i(a_{ij}(x)\partial_ju) + \int^t_0 \sum_{| \alpha| \le 2} b_{\alpha}(x,t,\eta)\partial_x^{\alpha}u(x,\eta) d\eta + F(x,t)$$ 其中 $x \in \Omega$ 且 $t\in (0,T)$ 或 $t \in (-T,T)$，该方程是粘弹性模型的方程。首先，我们在适当的侧向子边界 $\Gamma \times (-T,T)$ 上具有超定边界数据的情况下，为该方程建立了 Carleman 估计。其次，在假设 $\partial_tu(\cdot,0) = 0$ 且 $T>0$ 充分大，$\Gamma \subset \partial\Omega$ 满足某些几何条件的情况下，我们应用 Carleman 估计建立了 $| u(\cdot,0)|_{H^3(\Omega)}$ 关于 $\partial_{\nu}u|_{\Gamma\times (0,T)}$ 的双边估计。此类估计是一种能观性不等式，并与精确可控性相关。最后，我们将 Carleman 估计应用于确定 $F(x,t)$ 中空间变化因子的逆源问题，并建立了双边 Lipschitz 稳定性估计。