柯西问题的卡拉西奥多里解与Z. Grande问题

证明了对于满足关于第一个变量可测、关于第二个变量上半连续拟连续且递增的函数 $f:\mathbb R^2\to \mathbb R$，存在柯西问题 $y'(x)=f(x,y(x))$ 在初始条件 $y(x_0)=y_0$ 下的卡拉西奥多里解 $y(x)=y_0+\int\limits_{x_0}^xf(t,y(t))d\mu(t)$。构造的例子表明了递增条件的本质性，并对Z.~Grande的一个问题给出了否定回答。