鸭解与曲率：通过捏合实现非光滑逼近

在多时间尺度（奇摄动）动力系统中，鸭解是沿着吸引和排斥不变流形演化的反直觉解。在二维系统中，鸭解导致周期振荡，其振幅和周期以高度非线性的方式增长：它们相对于控制参数缓慢变化，除了在一个指数级小的取值范围内，它们会极速增长。这种突然的增长被称为鸭解爆炸，已在从化学到神经元动力学、航空航天工程和生态学的许多应用中遇到。鸭解最初使用非标准分析进行研究，后来通过匹配渐近展开、不变流形理论和参数爆破等标准技术证明了相同的结果。最近，类鸭解行为已被联系到分段光滑动力系统中的不连续曲面。本文通过展示鸭解爆炸的非标准分析可以被重塑到分段光滑动力系统的框架中，为鸭解现象提供了一个新的视角。对奇摄动常微分方程组应用指数坐标缩放。该缩放充当一个透镜，解析所有时间尺度上的动力学。然后分析导致鸭解爆炸的局部曲率变化。不同时间尺度占主导的区域由超曲面分隔，这些超曲面被捏合在一起以获得一个分段光滑系统，在该系统中，曲率变化表现为不连续诱导的分岔。该方法用于对任意维度中的鸭解进行分类，并推导出鸭解形成小环（无头鸭解）或大环（有头鸭解）的参数值。