$\mathbb{P}^n$ 中的 Calabi-Yau 三维流形与 Gorenstein 环

一个射影正规 Calabi-Yau 三维流形 $X \subseteq \mathbb{P}^n$ 具有一个算术 Gorenstein 的理想 $I_X$,其 Castelnuovo-Mumford 正则度为四。当 $I_X$ 为完全交时,以及当 $X$ 的余维数为三时,此类理想已被深入研究。在后一种情形中,Buchsbaum-Eisenbud 定理表明 $I_X$ 由一个反对称矩阵的 Pfaffian 给出。近期若干论文研究了 $I_X$ 余维数为四的情形。我们证明,对于算术 Gorenstein 理想 $I$ 且 $\mathrm{codim}(I)=4=\mathrm{reg}(I)$,存在16种可能的 Betti 表,且其中恰好8种出现在光滑不可约非退化三维流形上。我们研究了余维数为五或更高的情形,得到了 $X$ 的 $h^{p,q}(X)$ 不属于那些在更低余维的 $I_X$ 中或作为环面 Fano 簇中完全交所出现的例子。我们方法中的一个关键工具是使用逆系统来识别 $X$ 可能的 Betti 表。