P^5 中光滑三维流形的 Castelnuovo-Mumford 正则性

Castelnuovo-Mumford 正则性是射影代数簇的一个重要不变量。Eisenbud 和 Goto 提出的一个著名猜想根据余维数与次数给出了正则性的一个界，即给定簇 $X$ 的 Castelnuovo-Mumford 正则性小于或等于 $deg(X)-codim(X)+1$。这一正则性猜想（包括边界上例子的分类）已在整曲线（Castelnuovo、Gruson、Lazarsfeld 和 Peskine）和光滑曲面（Pinkham、Lazarsfeld）情形得到验证。本文我们证明了对 P^5 中光滑三维流形 $X$ 有 $reg(X) \le deg(X)-1$，且边界上唯一的簇是 Segre 三维流形与两个二次曲面的完全交。此外，P^5 中每个光滑三维流形 $X$ 对所有 $k \ge deg(X)-4$ 都是 $k$-正规的，而次数为 7 的 Palatini 3-fold 表明这是最优界。