通过双点除子给出的 Castelnuovo-Mumford 正则性界

设 $X \subseteq \mathbb{P}^r$ 是定义在特征为零的代数闭域上的非退化光滑射影簇，其维数为 $n$，余维数为 $e$，次数为 $d$。在本文中，我们首先证明 $\text{reg} (\mathcal{O}_X) \leq d-e$，并对极值情况和次极值情况进行分类。我们的结果将光滑情形下的 Eisenbud-Goto 正则性猜想归结为寻找正规性的 Castelnuovo 型界的问题。值得注意的是，McCullough-Peeva 最近通过证明当 $X$ 不光滑时 $\text{reg} (\mathcal{O}_X)$ 甚至不被 $d$ 的任何多项式函数上方有界，从而构造了正则性猜想的反例。对于光滑情形下的正规性界，我们建立了 $\text{reg}(X) \leq n(d-2)+1$，这改进了 Mumford、Bertram-Ein-Lazarsfeld 和 Noma 先前获得的结果。最后，通过推广 Mumford 关于双点除子的方法，我们证明了 $\text{reg}(X) \leq d-1+m$，其中 $m$ 是一个源于与外部一般投影相关的双点除子的不变量。利用与内部投影相关的双点除子，我们在适当假设下也获得了 $\text{reg}(X)$ 的稍好界。