相对稳定对与非Calabi–Yau墙交叉

设$Y$为光滑射影三维簇，$f:Y\to X$为双有理映射且满足$Rf_*\mathcal{O}_Y=\mathcal{O}_X$。当$Y$为Calabi–Yau时，Bryan–Steinberg定义了与此类映射相关的计数不变量，称为$f$-相对稳定（或Bryan–Steinberg）不变量。当$X$具有Gorenstein奇点且$f$相对维数为一时，他们将此类不变量与$Y$的Donaldson–Thomas不变量，或等价的Pandharipande–Thomas不变量进行了比较。我们为上述映射$f$定义Bryan–Steinberg不变量，且不假设$Y$为Calabi–Yau。对于具有Gorenstein与有理奇点的$X$、$f$相对维数为一、以及来自$X$的插入和任意后代层级，我们猜想Bryan–Steinberg不变量与$Y$的Pandharipande–Thomas不变量的生成函数之间存在关系。我们利用退化与局部化技术，将问题约化至Calabi–Yau情形，再以Joyce的motivic Hall代数处理，从而对具有正规丛$N_{C/Y}\cong \mathcal{O}_C(-1)^{\oplus 2}$的有理曲线$C$的收缩$f: Y\to X$验证了该猜想。