阿尔贝亚变换引导下代数变数的对数Calabi-Yau结构

设 $X$ 为一个正规射影变数， admitting a polarized endomorphism $f$，即 $f^*H\sim qH$，其中 $H$ 为充分大偶数 divisor，$q>1$。Broustet 和 Gongyo 提出了猜想：$X$ 为Calabi-Yau类型（简称CY），即存在有效 $\mathbb{Q}$-divisor $\Delta$ 使得 $(X,\Delta)$ 为 lc，且 $K_X+\Delta\sim_{\mathbb{Q}}0$。我们证明了当 $X$ 为Gorenstein terminal 3 维变数时该猜想成立，扩展了 Sheng Meng 关于光滑三维变数的结果。随后我们研究 $(X,\Delta+\frac{R_{\Delta}}{q-1})$ 的奇点类型与CY性质，其中 $(X,\Delta)$ 为 $f$-pair，即 $K_X+\Delta=f^*(K_X+\Delta)+R_\Delta$，且 $\Delta, R_\Delta$ 为有效。具体而言，我们证明：(1) 当 $X$ 为 $\mathbb{Q}$-factorial（或klt类型）3 维变数时，$K_X+\frac{R_f}{q-1}$ 为 $\mathbb{Q}$-Cartier 且数值为平凡；(2) 当 $X$ 为以 Picard 数 $\rho(X)>1$ 或存在素分母 $P$ 和 $s>0$ 使得 $f^{-s}(P)=P$ 时，$(X, \frac{R_{f}}{q-1})$ 为log Calabi-Yau。