具有非理想导热板的 Rayleigh-Bénard 对流的界限

我们研究了湍流 Rayleigh-Bénard 对流中边界热性质对对流热输运解析上界的影响。我们用两种方式对非理想导热边界板进行建模：使用恒定 Biot 数 $\eta$ 的理想化混合热边界条件，在先前研究的固定温度（$\eta = 0$）和固定热通量（$\eta = \infty$）情形之间连续插值；以及通过温度和热通量连续性，将 Boussinesq 近似下流体中的演化方程与上下相同的导热板显式耦合。在这两种情况下，我们系统地建立了一个界限原理，并使用由 Doering 和 Constantin 发展的“背景方法”，获得了以通常的 Rayleigh 数 $Ra$（衡量跨越流体层的平均温度降）表示的 Nusselt 数 $Nu$ 的显式上界。在存在板的情况下，我们发现界限取决于 $\sigma = d/\lambda$，其中 $d$ 是板与流体厚度的比值，$\lambda$ 是热导率比值，并且该界限问题可以映射为 Biot 数 $\eta = \sigma$ 的情形。具体而言，对于每个 $\sigma > 0$，当 $Ra$ 充分大（取决于 $\sigma$）时，我们证明了 $Nu \leq c(\sigma) R^{1/3} \leq C Ra^{1/2}$，其中 $C$ 是一个与 $\sigma$ 无关的常数，控制参数 $R$ 是根据跨越整个板-流体-板系统的总温度降定义的 Rayleigh 数。在 $Ra \to \infty$ 极限下，通常的固定温度假设是一般界限问题的奇异极限，而即使对于高导热板，固定热通量条件似乎也与渐近的 $Nu$--$Ra$ 标度最为相关。