粗糙边界上具Navier滑移条件的浮力驱动流的界

我们考虑在两个由高度函数$h$描述的水平粗糙壁处具有Navier滑移和固定温度边界条件的二维Rayleigh-Bénard对流。我们证明了Nusselt数$\text{Nu}$的严格上界，其显式捕获了对边界曲率$\kappa$和（非常数）摩擦系数$\alpha$的依赖性。若$h\in W^{2,\infty}$且$\kappa$相对于$\alpha$满足一个小性条件，我们发现$$\text{Nu}\lesssim \text{Ra}^{\frac{1}{2}}+\|\kappa\|_{\infty}\,,$$其中$\text{Ra}$为Rayleigh数，当$\kappa=0$时与预测的Spiegel-Kraichnan标度律一致。该界通过边界处小条带内的局部正则性估计得到。当$h\in W^{3,\infty}$、$\kappa$和$\alpha$在$L^{\infty}$中充分小且Prandtl数$\Pr$充分大时，我们利用背景场方法证明上界，其在$\text{Ra}^{\frac{1}{2}}$与$\text{Ra}^{\frac{5}{12}}$之间插值，并对$\alpha$和$\kappa$有非平凡依赖。这些界与Drivas等人（2022 Phil. Trans. R. Soc. A 380 20210025）对平坦边界和常摩擦系数的结果一致。此外，在$\Pr\geq \text{Ra}^{\frac 57}$情形，我们改进了$\text{Ra}^{\frac 12}$上界，表明$$\text{Nu}\lesssim_{\alpha,\kappa}\text{Ra}^{\frac{3}{7}}\,,$$其中$\lesssim_{\alpha,\kappa}$隐藏了隐式常数对$\alpha$和$\kappa$的额外依赖。