有限普朗特数下努塞尔数的上界

我们基于 Boussinesq 近似研究 Rayleigh-Bénard 对流。我们关注努塞尔数 $\mathrm{Nu}$（向上热输运）关于瑞利数 $\mathrm{Ra}$（表征驱动机制相对强度）和普朗特数 $\mathrm{Pr}$（表征惯性效应强度）的上界。我们表明，在对数修正范围内，Constantin 和 Doering 于 1999 年提出的上界 $\mathrm{Nu}\lesssim \mathrm{Ra}^{\frac{1}{3}}$ 只要 $\mathrm{Pr}\gtrsim \mathrm{Ra}^{\frac{1}{3}}$ 就依然成立，随后转变为 $\mathrm{Nu}\lesssim\mathrm{Pr}^{-\frac{1}{2}}\mathrm{Ra}^{\frac{1}{2}}$。这一结果超越了 $\mathrm{Pr} \gg \mathrm{Ra}$ 的微扰机制，改进了 Wang 的结果。证明采用了一种新方法估计 Navier-Stokes 方程中的输运非线性项，利用了无滑移边界条件。该方法依赖于对具有临界 Muckenhoupt 权重的非定常 Stokes 方程在 $L^1$ 空间中的新 Calderón-Zygmund 估计。