应用于瑞利-贝纳尔对流的后台场方法的局限性

我们考虑由布辛涅斯克方程建模的无限普朗特数情形下的瑞利-贝纳尔对流。人们对于向上热通量的界有广泛兴趣，该热通量由努塞尔数 ${\rm Nu}$ 给出，其受由瑞利数 ${\rm Ra}\gg 1$ 湍流区中施加的温度差所驱动。在若干工作中，应用于温度场的背景场方法已被用来给出 ${\rm Nu}$ 关于 ${\rm Ra}$ 的上界。在这些应用中，背景场方法表现为一个变分问题，其中在特定稳定性条件下优化分层温度剖面；该方法被认为能捕捉边界层的边际稳定性。通过此方法可得的最佳上界为 ${\rm Nu}$ $\lesssim {\rm Ra}^\frac{1}{3}(\ln {\rm Ra})^\frac{1}{15}$；它通过构造在主体中对数增长的稳定温度背景剖面实现。本文中，我们证明背景温度场方法在对数幂次方面不能提供更紧的上界。然而，通过另一种方法确实获得了更紧的上界 ${\rm Nu}\lesssim {\rm Ra}^\frac{1}{3}(\ln\ln {\rm Ra})^\frac{1}{3}$，因此本文结果意味着背景温度场方法在非物理的意义上无法提供最优界。