双幂非相对论薛定谔方程的提升基态

本文研究形式为 $\psi(t,x)=e^{i\lambda t}\varphi\left(x-vt\right)$ 的旅行 solitary 波,即解方程 $$i\partial_t \psi=(\sqrt{-\Delta+m^2})\psi - |\psi|^{\frac{2}{N}}\psi-\mu|\psi|^{q}\psi~~\text{ on }\mathbb{R}^N,$$ 其中 $m\ge 0$ 且 $|v|<1$.为此,我们引入并分析相关的约束变分问题,其最小化者称为提升基态,参数 $\lambda$ 作为拉格朗日乘子获得.首先给出该提升基态存在与否的完整分类.基于此分类,我们进一步研究几种极限轮廓,并确切建立了精确的 blow-up 速率.