作为孤立波的爱 boson 星

我们研究 $\RR^3$ 上的非线性方程 $i \partial_t \psi = (\sqrt{-\Delta + m^2} - m) \psi - ( |x|^{-1} \ast |\psi|^2 ) \psi$,已知其描述平均场极限下伪相对论性 boson 星的动力学。对正质量参数 $m > 0$,我们证明存在行进孤立波 $\psi(t,x) = e^{i t \mu} \sol_{v}(x-vt)$,速度为 $|v| < 1$,其中在我们的单位制中 $c=1$ 对应光速。由于缺少 Lorentz 协变性,此类行进孤立波不能通过对静止孤立波($v=0$)施加 Lorentz 推进获得。为克服此困难,我们引入并研究一个适当的变分问题,其极小元给出函数 $\sol_v \in \Hhalf(\RR^3)$,我们称之为推进基态。我们的存在性证明广泛使用了集中-紧致型论证。除存在性外,我们还证明了行进孤立波 $\psi(t,x) = e^{it \mu} \sol_v(x-vt)$ 的轨道稳定性,以及 $\sol_v(x)$ 关于 $x$ 的点态指数衰减。