具有长程扰动的玻色星

我们考虑具有长程扰动的玻色星方程，其形式为 $$i\partial_t \psi=\sqrt{-\triangle+m^2}\,\psi+\beta(\frac{1}{|x|^\alpha}\ast |\psi|^2)\psi-(\frac{1}{|x|}\ast |\psi|^2)\psi\ \ \ \text{on $\mathbb{R}^3$,}$$ 其中 $\frac{1}{|x|^\alpha} (0<\alpha<1)$ 表示长程势。与众所周知的事实相反——当 $\beta=0$ 时，在粒子数 $N=N_c$（Chandrasekhar 极限质量）处不存在极大基态孤立波 [E.H. Lieb, H.T. Yau, \emph{Commun. Math. Phys.}, 112 (1987), pp: 147-174]——我们证明对于 $\beta>0$ 且足够小，在 $N=N_c$ 处至少存在一个极大基态。此外，对于 $\beta>0$，我们发现对于初值 $\|\psi_0\|^2_2=N_c$，解 $\psi(t)$ 是整体适定的，并且我们在某种意义下获得了这些极大基态孤立波的“轨道稳定性”，这意味着此类长程扰动使玻色星系统更加稳定。最后，我们分析了当 $\beta\rightarrow 0^+$ 时极大基态的爆破行为。