关于不稳定区间的偶极量子气体

我们研究了不稳定区间内偶极玻色 - 爱因斯坦凝聚中出现的非线性薛定谔方程。研究了两种情况：第一种是系统自由的情况，第二种是逐渐加入囚禁势的情况。在这两种情况下，我们首先关注驻波的存在性及其稳定性/不稳定性性质。我们的方法导向对一个在约束上下无界的约束泛函的临界点的搜索。在自由情况下，通过证明该约束泛函具有所谓的“山路几何”结构，我们证明了具有最小能量的驻态（即基态）的存在性，并表明任何基态都是轨道不稳定的。此外，当系统自由时，我们证明了在能量空间中的小数据在所有区间（稳定和不稳定）内都会发生散射。在第二种情况下，如果囚禁势较小，我们证明了会出现两种不同类型的驻波：一种对应于约束能量泛函的“拓扑局部极小值”，由基态组成；另一种再次属于“山路型”，但此时对应于激发态。我们还证明了任何基态都是一个“拓扑局部极小值”。尽管问题是质量超临界的且泛函下无界，但与基态集合相关的驻波却被证明是轨道稳定的。实际上，从物理角度来看，引入囚禁势稳定了最初不稳定的系统。与此相关，我们观察到它还在系统的基态能级中产生了一个能隙。此外，当囚禁势起作用时，具有任意小范数的驻波的存在阻止了小数据散射。最后，我们还给出了一些渐近结果。