通过热带几何研究平面四次曲线的双切线：有理化、$\mathbb{A}^1$-计数与实符号计数

我们以平面四次曲线的双切线为测试用例，探索热带方法在算术计数问题中的推广，例如取值于 Grothendieck-Witt 环的 $\mathbb{A}^1$-计数，以及 Henselian 赋值域上的有理化。我们考虑定义在赋值域上的四次曲线，其热带化光滑且满足温和的泛型条件。随后我们用热带化边的扭曲来表示双切线及其切点有理化的阻碍；后者仅依赖于热带化以及定义方程的首项系数模平方。我们还证明了热带双切线的 GW-重数，即其提升对 Larson 和 Vogt 所定义的双切线 $\mathbb{A}^1$-计数的贡献重数，可由四次曲线的热带化与定义方程的首项系数算出。作为一个应用，我们证明大多数热带双切线类的四个提升对 $\mathbb{A}^1$-计数贡献 $2\mathbb{H}$，即双曲平面类的两倍。这些结果依赖于一个退化定理，该定理在剩余特征不等于二时，将 Henselian 赋值域的 Grothendieck-Witt 环与其剩余域的 Grothendieck-Witt 环联系起来。