高秩赋值的几何

本文旨在引入若干适用于研究代数簇函数域上高秩赋值的工具与结果。这将建立在对取值于字典序群 R^k 的高秩拟单项赋值的研究之上。我们证明了一个对偶定理，该定理将高秩拟单项赋值几何实现为对偶锥复形的切锥。利用这一对偶性，我们给出了拟单项赋值作为热带函数上多方向导数算子的解析描述。此外，我们考虑了一种精细热带化概念，其中我们记住对偶复形每个锥上幂级数的首项，并通过证明对偶锥复形各锥上任意相容的首项集合都是簇函数域中有理函数的精细热带化，给出了数论中弱逼近定理的热带类比。赋予值群 R^k 其欧几里得拓扑后，我们进而研究高秩赋值空间上的一种自然拓扑，称之为热带拓扑。利用逼近定理，我们给出了对偶锥复形切锥上热带拓扑的显式描述。最后，我们表明对偶复形的切锥在高秩非阿基米德几何中提供了一种骨架概念。即，将秩一情形推广至高秩，我们构造到对偶锥复形切锥的收缩映射，并用它们获得极限公式，在其中我们以热带拓扑将高秩非阿基米德空间重构为其高秩骨架的投影极限。我们猜想这些高秩骨架为研究 Newton-Okounkov 体的变体提供了合适的基。