Khovanskii bases, higher rank valuations and tropical geometry

给定一个有限生成代数 $A$，$A$ 是否具有一个带有有限生成值半群的满秩离散（Krull）赋值 $\mathfrak{v}$ 是一个基本问题。我们用 $A$ 的 tropical geometry 给出了该问题的一个充分必要条件。在此过程中，我们引入了 $(A, \mathfrak{v})$ 的 Khovanskii basis 概念，它提供了一个将多项式代数上的 Gröbner 理论大幅推广到一般有限生成代数的框架。特别地，这在 Newton-Okounkov bodies 理论与 tropical geometry 以及两者中出现的 toric degenerations 之间建立了直接联系。我们还构造了 $Spec(A)$ 的一个相关紧化。我们的方法包含许多熟悉的例子，例如 flag varieties 坐标环的 Gel'fand-Zetlin degenerations 以及 reductive groups 的 wonderful compactifications。我们期望来自 cluster algebras 的许多例子能自然地融入我们的框架。