由首一Gröbner基定义的代数的赋值扩张

设$K$是一个域，$\mathcal {O}_v$是$K$的一个与赋值$v$：$K\rightarrow\Gamma\cup\{\infty\}$相关的赋值环，${\bf m}_v$是$\mathcal {O}_v$的唯一极大理想。考虑自由$K$-代数$K\langle X\rangle =K\langle X_1,...,X_n\rangle$（在$X_1,...,X_n$上）的一个理想$\mathcal {I}$。如果${\cal I}$由${\cal O}_v\langle X\rangle$的一个子集$\mathcal {G}\subset{\cal O}_v\langle X\rangle$生成，且$\mathcal {G}$是${\cal I}$在$K\langle X\rangle$中的一个首一Gröbner基，其中$\mathcal {O}_v\langle X\rangle =\mathcal{O}_v\langle X_1,...,X_n\rangle$是$\mathcal{O}_v$上的自由代数（在$X_1,...,X_n$上），那么赋值$v$自然诱导出$K$-代数$A=K\langle X\rangle /\mathcal {I}$的一个穷尽的、分离的$\Gamma$-滤过$F^vA$，并且进一步地，在$\mathcal{O}_v\langle X\rangle$中有$\mathcal{I}\cap\mathcal{O}_v\langle X\rangle =\langle\mathcal{G}\rangle$成立；由此可得，如果此外$\mathcal{G}\not\subset {\bf m}_v{O}_v\langle X\rangle$且$k\langle X\rangle /\langle\overline{\mathcal G}\rangle$是一个整环，其中$k=\mathcal{O}_v/{\bf m}_v$是$\mathcal{O}_v$的剩余域，$k\langle X\rangle =k\langle X_1,...,X_n\rangle$是$k$上的自由代数（在$X_1,...,X_n$上），$\overline{\mathcal G}$是$\mathcal{G}$在典范满同态$\mathcal{O}_v\langle X\rangle\rightarrow k\langle X\rangle$下的像，那么$F^vA$确定了一个赋值函数$A\rightarrow \Gamma\cup\{\infty\}$，从而$v$自然地扩张到$A$的分式（斜）域$\Delta$上的一个赋值函数（假设$\Delta$存在）。