$p$-Poisson 方程解的 Besov 正则性

本文研究了所有 $1<p<\infty$ 情形下 $p$-Poisson 方程解的正则性。特别地，我们关注 Besov 空间自适应尺度 $B^\sigma_{\tau}(L_{\tau}(\Omega))$（其中 $1/\tau = \sigma/d+1/p$）中的光滑度估计。该尺度下的正则性决定了自适应及其他非线性逼近方法所能达到的逼近阶。结果表明，特别是对于有界多边形区域上具有齐次 Dirichlet 边界条件的 $p$-Poisson 方程解，其 Besov 正则性显著高于 Sobolev 正则性，这证明了使用自适应算法的合理性。此类结果是通过结合局部 H"older 估计与全局 Sobolev 估计获得的。特别地，我们证明了局部加权 H"older 空间与 Sobolev 空间的交集可以连续嵌入到我们感兴趣的特定 Besov 空间尺度中。该嵌入结果的证明基于 Besov 空间的小波刻画。