Riordan群中伪对合的$B$-展开

每个具有生成函数 $B\left( x \right)$ 的数值序列 $\left( {{b}_{0}},{{b}_{1}},{{b}_{2}},... \right)$ 定义了Riordan群 $\left( 1,xg\left( x \right) \right)$ 中的伪对合，满足 $g\left( x \right)=1+xg\left( x \right)B\left( {{x}^{2}}g\left( x \right) \right)$。本文实现一个简单的想法：用级数 $B\left( x \right)$ 的系数表示级数 ${{g}^{m}}\left( x \right)$ 的系数。所得展开具有明显的组合特征，阐明了Riordan群中伪对合与广义二项级数的联系，并且有助于由给定级数 $B\left( x \right)$ 求解级数 $g\left( x \right)$。我们将此展开与序列 $\left( 1,{{a}_{1}},{{a}_{2}},... \right)$ 的类似展开进行比较，该序列具有生成函数 $A\left( x \right)$ 使得 $g\left( x \right)=A\left( xg\left( x \right) \right)$。