RNA 矩阵的复合多项式与 Riordan 伪对合的 B-复合多项式

设 $(g(x),xg(x))$ 为来自 Bell 子群的 Riordan 矩阵。我们记 $(g(x),xg(x))^{\varphi}=(g^{(\varphi)}(x),xg^{(\varphi)}(x))$，其中矩阵幂以标准方式定义。使得 $g^{(\varphi)}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_n(\varphi)x^n$ 的多项式 $c_n(x)$ 称为复合多项式。我们考虑 RNA 矩阵的复合多项式。与这些多项式相关的构造允许如下推广。若矩阵 $(g(x),xg(x))$ 为伪对合，则存在生成函数为 $B(x)$ 的数值序列（$B$-序列），使得 $g(x)=1+xg(x)B(x^2g(x))$。其 $B$-序列的生成函数为 $\varphi B(x)$ 的矩阵记为 $(g^{[\varphi]}(x),xg^{[\varphi]}(x))$。使得 $g^{[\varphi]}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} u_n(\varphi)x^n$ 的多项式 $u_n(x)$ 称为 $B$-复合多项式。这些多项式的系数用 $B$-序列表示。我们证明，其行对应于 $B$-复合多项式的矩阵以某种方式与 Lagrange 子群的指数 Riordan 矩阵相关联。详细考虑了 $B(x)=(1-x)^{-1}$（RNA 矩阵）、$B(x)=1+x$、$B(x)=C(x)$（其中 $C(x)$ 为 Catalan 级数）的情形。