流形三角剖分中诱导子复形的平均贝蒂数

我们研究了 Bagchi 和 Datta 的单纯复形 $C$ 的 $\sigma$-向量的一个变体，其分量定义为 $C$ 的诱导子复形的贝蒂数的加权平均。我们证明这些不变量满足 Alexander–Dehn–Sommerville 类型的恒等式，并且在三角剖分流形和球面上的连通和、双星形翻转等自然运算下表现良好。在交换代数的语言中，这些不变量是 $C$ 的 Stanley–Reisner 环的分次贝蒂数的加权和。根据 Adiprasito 的一个结果，这一解释意味着在给定 $f$-向量的三角剖分球面中，Billera–Lee 球面使这些不变量达到最大。对于 $\sigma$ 的第一个分量，我们将此界推广到强连通纯复形类。作为一个应用，我们展示了如何利用 $\sigma$ 的上界来获得具有顶点传递对称性和给定贝蒂数向量的三角剖分 $4$-流形的 $f$-向量的下界。