由第一 Betti 数参数化的 Tambara-Yamagami 3-流形量子不变量的算法

量子拓扑提供了受量子理论启发的定义与计算流形不变量的多种框架。在数学与物理中均备受关注的一个此类框架是 Turaev-Viro-Barrett-Westbury 状态求和构造，它利用球面融合范畴的数据，通过张量网络缩并定义三角剖分 3-流形的拓扑不变量。本工作中，我们分析了源自 Tambara-Yamagami 范畴的 3-流形状态求和不变量的计算复杂性。尽管这些范畴是超出有限阿贝尔群（其不变量可在多项式时间内计算）的最简单状态求和不变量来源，其计算复杂性尚待完全理解。我们首先确立即便最小的 Tambara-Yamagami 范畴所导出的不变量在计算上也是 #P-难的，因此可预期整个族均如此。我们的主要结果则是存在一种计算这些 3-流形不变量的固定参数可解算法，其中参数取为 3-流形带 Z/2Z 系数的第一 Betti 数。与曲面上的图等计算拓扑的其他领域相反，3-流形拓扑中极少有已知容许带拓扑参数的 FPT 算法的难题。然而此类算法尤为有趣，因为其复杂性仅对输入的组合表示多项式依赖，而与大小或组合宽度无关。此外，在 Betti 数的情形下，参数本身可在多项式时间内计算。因此，尽管通常预期量子不变量在经典上难以计算，我们的结果表明由 Tambara-Yamagami 范畴计算状态求和不变量的困难性源于经典 3-流形拓扑，而非代数输入的量子本性。