3-流形的量子不变量与 NP vs #P

计算复杂度类 #P 刻画了计算布尔公式满足赋值数量的难度。在本工作中，我们利用量子计算的基本工具证明了 3-流形的 SO(3) Witten-Reshetikhin-Turaev (WRT) 不变量的计算是 #P-难的。随后，我们将此结果应用于关于 Heegaard 分裂组合学的一个问题，该问题受 M. Freedman 关于链环图的类似工作启发。我们表明，如果 $\#\text{P}\neq\text{FP}^\text{NP}$，则存在无限多个 Heegaard 分裂，除非通过超多项式步数，否则无法通过局部保 WRT 变换使其对数变薄。我们还概述了上述结果的两个扩展。首先，借鉴 Kuperberg 的结果，我们表明任何与表示无关的 WRT 近似也是 #P-难的。其次，我们简要说明了如何将所有结果转化到三角剖分和 Turaev-Viro 不变量的框架中。