符号属于某些广义 Krein 代数的 Toeplitz 矩阵的渐近性

设 $\alpha,\beta\in(0,1)$，$$K^{\alpha,\beta}:=\left\{a\in L^\infty(\T): \sum_{k=1}^\infty |\hat{a}(-k)|^2 k^{2\alpha}<\infty, \sum_{k=1}^\infty |\hat{a}(k)|^2 k^{2\beta}<\infty \right\}.$$ Mark Krein 于 1966 年证明 $K^{1/2,1/2}$ 构成一个 Banach 代数。他还观察到该代数在有限 Toeplitz 矩阵的渐近理论中具有重要意义。十年后，Harold Widom 将 Gabor Szegő 关于标量符号的早期结果推广，建立了有限 Toeplitz 矩阵 $T_n(a)$ 的渐近迹公式 $$\operatorname{trace}f(T_n(a))=(n+1)G_f(a)+E_f(a)+o(1) \quad\text{as}\ n\to\infty$$，其中矩阵符号 $a\in K^{1/2,1/2}_{N\times N}$。我们证明：若 $\alpha+\beta\ge 1$ 且 $a\in K^{\alpha,\beta}_{N\times N}$，则 Szegő-Widom 渐近迹公式成立，其中 $o(1)$ 被替换为 $o(n^{1-\alpha-\beta})$。