带对合的 Capelli 多项式的渐近性

设 $F\langle X, \ast \rangle$ 为特征零域 $F$ 上的带对合 $\ast$ 的自由结合代数。我们研究由 $\ast$-Capelli 多项式 $Cap^\ast_{M+1} [Y,X]$ 和 $Cap^\ast_{L+1} [Z,X]$ 分别关于 $M+1$ 个对称变量和 $L+1$ 个斜对称变量交错生成的 $F\langle X, \ast \rangle$ 的 T-$\ast$-理想 $\Gamma_{M+1,L+1}^\ast$ 的 $\ast$-余维数序列的渐近行为。众所周知，若 $F$ 为特征零的代数闭域，则每个有限维 $\ast$-单代数同构于下列代数之一：\begin{itemize} \item [$\cdot$]$(M_{k}(F),t)$ 带转置对合的 $k \times k$ 矩阵代数； \item [$\cdot$]$(M_{2m}(F),s)$ 带辛对合的 $2m \times 2m$ 矩阵代数； \item [$\cdot$]$(M_{h}(F)\oplus M_{h}(F)^{op}, exc)$ 带交换对合的 $h \times h$ 矩阵代数与其反对代数的直和。 \end{itemize} 我们证明对某些固定的自然数 $M$ 和 $L$，有限维 $\ast$-单代数的 $\ast$-余维数渐近等于 $\Gamma_{M+1,L+1}^\ast$ 的 $\ast$-余维数。特别地： $$c^{\ast}_n(\Gamma^{\ast}_{\frac{k(k+1)}{2} +1,\frac{k(k-1)}{2} +1})\simeq c^{\ast}_n((M_k(F),t));$$ $$c^{\ast}_n(\Gamma^{\ast}_{m(2m-1)+1,m(2m+1)+1})\simeq c^{\ast}_n((M_{2m}(F),s));$$ 以及 $$c^{\ast}_n(\Gamma^{\ast}_{h^2+1,h^2+1})\simeq c^{\ast}_n((M_{h}(F)\oplus M_{h}(F)^{op},exc)).$$